캡슐위의 점 찾는 방법

IlIIIlll 2018-03-29 (목) 19:20 조회 : 655

3D 캡슐위의 한 점을 찾아야 하는데,

먼저 제가 알고 있는건 주황색 벡터의 방향 (unit vector) 과, 캡슐의 구체의 반지름 r, 캡슐의 길이 h를 알고 있습니다.

(그림은 가로로 되어있지만 어찌됬건 각 구체의 원점 과 원점간의 거리 (파란색 직선)가 h 입니다.

찾아야 하는 점은 저 주황색 벡터처럼 캡슐의 표면? 이라 해야하나? 그걸 뜻합니다.

하루종일 고민하고 있는데, 도저히 감이 안와서 질문해봅니다.;;

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일이삼사오다

2018-03-29 (목) 19:25

숙제는 스스로

IlIIIlll 글쓴이

2018-03-29 (목) 19:26

숙제도 아니고 그냥 짜고 있던 함수인데 굉장히 까칠하시군요

에필로스

2018-03-29 (목) 19:31

3D는 결국 평면의 확장이므로, xy 평면에서 생각해 보았습니다..

unit vector를 알고 있으니, 해당 벡터와 x축과의 각을 알 수 있고, --> y = ax ( 0,0통과하니 상수는 없겠죠..)
h와 r을 알고 있으니, 원의 방정식을 만들 수 있습니다.. --> (x-h/2)^2 + y^2 = r^2

따라서, 해당 교점의 좌표를 구할 수 있을 것 같습니다..
(h와 r은 상수니까, 2원 2차 연립방정식이 되는것 같네요...(단어가 맞는지...)

그러면 결국 x, y값을 구하여 평면 좌표를 구할 수 있을 것이고,
위 식을 3차원 공간으로 확장하여 변수만 설정하면
3원 2차 연립방정식이 되어 계산이 가능할 것 같습니다..

lemo

2018-03-29 (목) 19:51

구 중심에서의 구면좌표계를 직교좌표계로 나타내면 아래처럼 나옵니다

rx = r sin(t) cos(p)
ry = r sin(t) sin(p)
rz = r cos(t)

캡슐이면 z 축에 0.5 h 더한 경우라고 볼 수 있습니다.

Rx = rx
Ry = ry
Rz = rz + 0.5 h

z 축을 중심으로 대칭이기 때문에

z축을 x축으로 놓고

p 를 제외하고 2차원 평면으로 생각해서

R, T 로 나타내면

x = 0.5 h + r Cos[t]
y = r Sin[t]
R = Sqrt[x^2+y^2] = Sqrt[(0.5 h+r Cos[t])^2+r^2 Sin[t]^2]

R Sin[T] = r Sin[t]
T = ArcSin[(r/R)Sin[t]] = ArcSin[(r/Sqrt[(0.5 h+r Cos[t])^2+r^2 Sin[t]^2]) Sin[t]]

로 나타낼 수 있습니다.

여기에 p 만큼 x 축을 중심으로 회전시키면 3차원 좌표가 나옵니다.

R, T 가 t 에 따라 변하므로 좌표계의 중심 보다는 구의 원점을 새로운 좌표계의 중심으로해서 찾는 것이 더 좋습니다.

좌표계 변환에 관한 것은

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B5%AC%EB%A9%B4%EC%A2%8C%ED%91%9C%EA%B3%84

참고하세요.

IlIIIlll 글쓴이

2018-03-30 (금) 00:37

이 방법 또한 사용해 해결하게 되서 채택했습니다. 사실 질문 자체를 제대로 못해서 원하는 답변이 아니다보니 멀리 돌아가긴 했지만, 도움이 되었습니다.

JourneyZ

2018-03-29 (목) 22:23

캡슐이 아니라 도넛이네요... 혹은 링이라고 하셔야 할듯...

예전에 3D CAD 개발할 때 많이 사용했었는데.

IlIIIlll 글쓴이

2018-03-30 (금) 00:24

그림을 좀 다르게 그려서 그렇지, 토루스가 아니라 캡슐입니다.

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